ต้องใช้สิงโตกี่ตัวในการฆ่าลูกแกะ? คำตอบไม่ได้ตรงไปตรงมาอย่างที่คุณคิด ไม่อย่างน้อยตามทฤษฎีเกม

ทฤษฎีเกม เป็นสาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่ศึกษาและทำนายการตัดสินใจ มักเกี่ยวข้องกับการสร้างสถานการณ์สมมติหรือ "เกม" โดยที่บุคคลจำนวนหนึ่งที่เรียกว่า "ผู้เล่น" หรือ "ตัวแทน" สามารถเลือกจากชุดการกระทำที่กำหนดไว้ตามกฎชุดหนึ่ง การกระทำแต่ละครั้งจะมี "ผลตอบแทน" และโดยปกติแล้วจุดมุ่งหมายคือการหาค่าตอบแทนสูงสุดสำหรับผู้เล่นแต่ละคน เพื่อหาว่าพวกเขาจะมีพฤติกรรมอย่างไร

วิธีนี้ถูกใช้ในหลากหลายวิชา รวมทั้ง เศรษฐศาสตร์, ชีววิทยา, การเมือง และ จิตวิทยาและเพื่อช่วยอธิบายพฤติกรรมในการประมูล การลงคะแนนเสียง และการแข่งขันทางการตลาด แต่ทฤษฏีเกม ต้องขอบคุณธรรมชาติของมัน ที่ก่อให้เกิดของเล่นพัฒนาสมองที่สนุกสนาน

หนึ่งในปริศนาที่มีชื่อเสียงน้อยกว่านี้เกี่ยวข้องกับการหาว่าผู้เล่นจะแข่งขันกันอย่างไรเพื่อแย่งชิงทรัพยากร ในกรณีนี้คือสิงโตผู้หิวโหยและลูกแกะแสนอร่อย สิงโตกลุ่มหนึ่งอาศัยอยู่บนเกาะที่ปกคลุมไปด้วยหญ้า แต่ไม่มีสัตว์อื่น สิงโตนั้นเหมือนกันหมด มีเหตุผลอย่างสมบูรณ์ และตระหนักว่าสิงโตตัวอื่นๆ ล้วนมีเหตุผล พวกเขายังทราบด้วยว่าสิงโตตัวอื่นๆ ทั้งหมดต่างก็ตระหนักดีว่าสิงโตตัวอื่นๆ ทั้งหมดนั้นมีเหตุผล และอื่นๆ การรับรู้ร่วมกันนี้คือสิ่งที่เรียกว่า “ความรู้ทั่วไป” ทำให้แน่ใจว่าไม่มีสิงโตตัวใดที่มีโอกาสหรือพยายามเอาชนะคนอื่น

โดยธรรมชาติแล้ว สิงโตจะหิวโหยอย่างยิ่ง แต่พวกมันไม่ได้พยายามต่อสู้กันเองเพราะพวกมันมีความแข็งแกร่งทางกายภาพเหมือนกัน ดังนั้นพวกมันทั้งหมดจะต้องตายอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้ เนื่องจากพวกมันล้วนมีเหตุผลอย่างสมบูรณ์ สิงโตแต่ละตัวจึงชอบชีวิตที่หิวโหยมากกว่าความตาย หากไม่มีทางเลือกอื่น พวกมันสามารถอยู่รอดได้ด้วยการกินหญ้าในปริมาณที่ไม่จำกัด แต่พวกมันทั้งหมดต้องการกินสิ่งที่มีเนื้อมากกว่า

อยู่มาวันหนึ่ง ลูกแกะตัวหนึ่งปรากฏตัวขึ้นบนเกาะอย่างปาฏิหาริย์ ช่างเป็นสิ่งมีชีวิตที่โชคร้ายจริงๆ ทว่ามีโอกาสรอดจากนรกนี้ได้จริงๆ ขึ้นอยู่กับจำนวนของสิงโต (แสดงด้วยตัวอักษร N) หากสิงโตตัวใดกินลูกแกะที่ไม่มีที่พึ่ง มันจะเต็มเกินกว่าจะป้องกันตัวจากสิงโตตัวอื่นได้

สมมติว่าสิงโตไม่สามารถแบ่งปันได้ ความท้าทายคือการค้นหาว่าลูกแกะจะรอดหรือไม่ขึ้นอยู่กับคุณค่าของ N หรือพูดอีกอย่างหนึ่งว่าการกระทำที่ดีที่สุดสำหรับสิงโตแต่ละตัวคืออะไร - กินลูกแกะ หรือไม่กินเนื้อแกะ ขึ้นอยู่กับว่าในกลุ่มมีอีกกี่ตัว

การแก้ไขปัญหา

ปัญหาทฤษฎีเกมประเภทนี้ ซึ่งคุณต้องหาวิธีแก้ปัญหาสำหรับค่าทั่วไปของ N (โดยที่ N เป็นจำนวนเต็มบวก) เป็นวิธีที่ดีในการทดสอบตรรกะของนักทฤษฎีเกมและแสดงให้เห็นว่าการเหนี่ยวนำย้อนหลังทำงานอย่างไร การเหนี่ยวนำเชิงตรรกะเกี่ยวข้องกับการใช้หลักฐานเพื่อสร้างข้อสรุปที่น่าจะเป็นจริง การเหนี่ยวนำถอยหลัง เป็นวิธีการค้นหาคำตอบที่ชัดเจนสำหรับปัญหาโดยย้อนกลับไปที่กรณีพื้นฐานแบบทีละขั้นตอน ซึ่งสามารถแก้ไขได้ด้วยอาร์กิวเมนต์เชิงตรรกะง่ายๆ

ในเกมสิงโต กรณีพื้นฐานจะเป็น N=1 ถ้าบนเกาะมีสิงโตหิวเพียงตัวเดียว ก็ไม่ลังเลที่จะกินลูกแกะ เพราะไม่มีสิงโตตัวอื่นที่จะแข่งขันกับมัน

ทีนี้มาดูกันว่าเกิดอะไรขึ้นในกรณีของ N=2 สิงโตทั้งสองสรุปว่าถ้าตัวใดตัวหนึ่งกินลูกแกะและอิ่มเกินกว่าจะป้องกันตัว สิงโตตัวอื่นก็จะถูกกิน เป็นผลให้ทั้งสองไม่พยายามที่จะกินลูกแกะและสัตว์ทั้งสามจะอยู่ด้วยกันอย่างมีความสุขกินหญ้าบนเกาะ (ถ้าชีวิตขึ้นอยู่กับเหตุผลของสิงโตหิวโหยสองตัวเท่านั้นเรียกว่ามีความสุข)

สำหรับ N=3 ถ้าสิงโตตัวใดตัวหนึ่งกินลูกแกะ (กลายเป็นลูกแกะที่ไม่มีการป้องกันอย่างมีประสิทธิภาพ) มันจะลดเกมเป็นสถานการณ์เดียวกันกับสำหรับ N=2 ซึ่งสิงโตที่เหลือจะไม่พยายามกิน สิงโตตัวใหม่ที่ไม่มีที่พึ่ง ดังนั้น สิงโตที่อยู่ใกล้ลูกแกะจริงที่สุด กินมัน และสิงโตสามตัวยังคงอยู่บนเกาะโดยไม่พยายามฆ่ากันเอง

และสำหรับ N=4 ถ้ามีสิงโตตัวใดกินลูกแกะ มันจะลดเกมเป็นสถานการณ์ N=3 ซึ่งหมายความว่าสิงโตที่กินลูกแกะจะถูกกินเอง เนื่องจากไม่มีสิงโตตัวใดต้องการให้เกิดขึ้น พวกมันจึงปล่อยลูกแกะไว้ตามลำพัง

โดยพื้นฐานแล้ว ผลลัพธ์ของเกมจะตัดสินโดยการกระทำของสิงโตที่อยู่ใกล้ลูกแกะมากที่สุด สำหรับแต่ละจำนวนเต็ม N สิงโตตระหนักว่าการกินลูกแกะจะลดเกมลงในกรณีของ N-1 หากกรณี N-1 ส่งผลให้ลูกแกะรอดชีวิต สิงโตที่ใกล้ที่สุดก็จะกินมัน มิฉะนั้น สิงโตทั้งหมดปล่อยให้ลูกแกะมีชีวิตอยู่ ดังนั้น ตามตรรกะกลับไปที่กรณีฐานทุกครั้ง เราสามารถสรุปได้ว่าลูกแกะจะถูกกินเสมอเมื่อ N เป็นเลขคี่ และจะอยู่รอดได้เมื่อ N เป็นเลขคู่

เกี่ยวกับผู้เขียน

Amirlan Seksenbayev ผู้สมัครระดับปริญญาเอกในสาขาคณิตศาสตร์ ความน่าจะเป็นและการประยุกต์ มหาวิทยาลัย Queen Mary of London

บทความนี้ถูกเผยแพร่เมื่อวันที่ สนทนา. อ่าน บทความต้นฉบับ.

หนังสือที่เกี่ยวข้อง

at ตลาดภายในและอเมซอน